calculo diferencial: octubre 2011

Es una formula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composicion de funciones.

DESCRIPCION ALGEBRAICA

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f\,$ es diferenciable en $x\,$ y $g\,$ es una función diferenciable en $f(x)\,$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)$

DESCRIPCION DE LA REGLA

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Las formulas de Faa di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

$\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}$

calculo diferencial

domingo, 16 de octubre de 2011

REGLA DE LA CADENA

REGLA DE LA CADENA